已知拋物線C：x2=4y焦點F的直線與C交于A，B兩點．
（Ⅰ）求線段AB中點Q的軌跡方程；
（Ⅱ）動點P是拋物線C上異于A，B的任意一點，直線PA，PB與拋物線C的準線l分別交于點M，N，求
FM
•
FN
的值．
考點：拋物線的簡單性質
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（Ⅰ）AB的方程為：y=kx+1，聯(lián)立方程組化簡得：x2-4kx-4=0，根據(jù)韋達定理，即可求線段AB中點Q的軌跡方程；
（Ⅱ）求出M，N點橫坐標，利用向量的數(shù)量積公式，即可得出結論．
解答： 解：（Ⅰ）C：x2=4y的焦點為（0，1），設A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點（x，y）．
AB的方程為：y=kx+1．
聯(lián)立方程組化簡得：x2-4kx-4=0，根據(jù)韋達定理，得x1+x2=4k，x1x2=-4，
∴x=
x1+x2
2
=2k，y=
y1+y2
2
=2k2+1，
∴AB中點的軌跡方程：y=
1
2
x2+1．                            …（4分）
（Ⅱ）設P（x0，
x02
4
），則直線PA的方程為：y-
x12
4
=
x12
4
-
x02
4
x1-x0
（x-x1），
當y=-1時，x=
-4+x1x0
x1+x0
．即M點橫坐標為xM=
-4+x1x0
x1+x0
，
同理可得N點橫坐標為xN=
-4+x2x0
x2+x0
．                    …（8分）
∴xMxN=
-4+x1x0
x1+x0
•
-4+x2x0
x2+x0
=-4，
∴
FM
•
FN
=（xM，-2）•（xN，-2）=xMxN+4=0 …（12分）
點評：本題考查拋物線的簡單性質，考查直線與拋物線的位置關系，考查向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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5
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3
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3
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π
12
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3
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（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）當a=
1
8
時，證明：方程f（x）=f（
2
3
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3
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3
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b-2c
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的值．

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