Question

已知函數(shù) ，
（Ⅰ）求f（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）在（0，1）內(nèi)，求使關(guān)系式成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）有意義，需
解得-1＜x＜1且x≠0，
∴函數(shù)定義域?yàn)閤|-1＜x＜0或0＜x＜1；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∵f（-x）==，
又由（1）已知f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅲ）設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，∵，
又x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，∴①
又，∵1-x₁＞0，1-x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴；
∴．②
由①②，得，
∴f（x）在（0，1）內(nèi)為減函數(shù)；
又，∴使成立x的范圍是．
分析：（I）根據(jù)分式函數(shù)分母不能為零和對(duì)數(shù)函數(shù)真數(shù)大于零求解；
（Ⅱ）由（1）知定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再分析f（-x）與f（x）的關(guān)系；
（Ⅲ）先證明f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，即在給定的區(qū)間上任取兩個(gè)變量，且界定其大小，再作差變形，再與零進(jìn)行比較，關(guān)鍵是變形到位用上條件．最后利用單調(diào)性將原不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，涉及到定義域的求法，要注意分式函數(shù)，根式函數(shù)和基本函數(shù)的定義域；還考查了奇偶性的判斷，要注意定義域．