Question

在正棱錐P—ABC中,三條側(cè)棱兩兩互相垂直,G是△PAB的重心,E、F分別為BC、PB上的點,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.

(1)求證:平面GEF⊥平面PBC;

(2)求證:EG是PG與BC的公垂線段.

Answer 1

解：(1)方法一:如圖,以三棱錐的頂點P為原點,以PA、PB、PC所在直線分別作為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.

令PA=PB=PC=3,則

A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0),

于是=(3,0,0),=(1,0,0),

故=3,

∴PA∥FG.

而PA⊥平面PBC,∴FG⊥平面PBC.

又FG平面EFG,

∴平面EFG⊥平面PBC.

方法二:同方法一,建立空間直角坐標系,則

E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0).

∴=(0,-1,-1),=(1,-1,-1).

設(shè)平面EFG的法向量是n=(x,y,z),

則有n⊥,n⊥.

∴

令y=1,得z=-1,x=0,即n=(0,1,-1).

而顯然=(3,0,0)是平面PBC的一個法向量.

這樣n·=0,

∴n⊥,即平面PBC的法向量與平面EFG的法向量互相垂直.

∴平面EFG⊥平面PBC.

(2)∵=(1,-1,-1),=(1,1,0),=(0,-3,3),

∴=1-1=0,

=3-3=0.

∴EG⊥PG,EG⊥BC.

∴EG是PG和BC的公垂線段.

綠色通道：

證明面面垂直通常有兩種方法,一是利用面面垂直的判定定理,轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明;二是證明兩個平面的法向量互相垂直.