Question

已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）=2ax²+2x-3-a，g（x）=b（x-1），其中a，b為實數(shù)．
（1）當(dāng)a=1時，若對任意的x∈[2，10]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求b的取值范圍；
（2）當(dāng)a＞0時，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題考查的是函數(shù)的最值問題與恒成立結(jié)合的綜合類問題，在解答時，應(yīng)先將不等式f（x）≥g（x）恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=在區(qū)間[2，10]上的最小值，然后結(jié)合恒成立問題的特點即可獲得問題的解答．
（2）由函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]有零點，得函數(shù)f（x）=2ax²+2x-3-a的圖象在[-1，1]區(qū)間上與x軸有交點，作出函數(shù)f（x）=2ax²+2x-3-a的圖象，利用其圖象必過兩定點．結(jié)合圖象，得只須f（1）≥0即可，從而得出a的取值范圍．
解答：解：（1）由題意可知：當(dāng)a=1時，不等式f（x）≥g（x）恒成立對任意x∈[2，10]恒成立，
即2x²+2x-4≥b（x-1）對任意x∈[2，10]恒成立，
也即：b，設(shè)x-1=t，則b≤，t∈[1，9]
只需要求函數(shù)y=在區(qū)間[1，9]上的最小值，
∵y=，當(dāng)且僅當(dāng)t=時取等號
∴y_min=4，
∴b的取值范圍是：b≤4．
（2）由函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]有零點，
得函數(shù)f（x）=2ax²+2x-3-a的圖象在[-1，1]區(qū)間上與x軸有交點，
作出函數(shù)f（x）=2ax²+2x-3-a的圖象，
其必過A（-，--3），B（，-3）兩點．如圖，
結(jié)合圖象，得只須f（1）≥0即可，
即2a×1²+2-3-a≥0⇒a≥1．
∴a的取值范圍[1，+∞）．
點評：本題考查的是函數(shù)的最值問題與恒成立結(jié)合的綜合類問題，在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了恒成立的思想、二次函數(shù)求最值的方法和問題轉(zhuǎn)化的能力．值得同學(xué)們體會和反思．