Question

已知函數(shù)在x=1處取到極值2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)．若對任意的x₁∈R，總存在x₂∈[1，e]，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用函數(shù)的求導(dǎo)公式計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)在x=1處取到極值得出函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為0，再把x=2代入函數(shù)，聯(lián)立兩式求出m，n的值即可．
已知函數(shù)在x=1處取到極值2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的定義域?yàn)镽，且f（-x）=-f（x）．故f（x）為奇函數(shù)．f（0）=0，x＞0時(shí)，f（x）＞0，f（x）=≤2．當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”．
故f（x）的值域?yàn)閇-2，2]．從而．依題意有（7分）
解答：解：（Ⅰ）（2分）
根據(jù)題意，f（x）=，
f′（x）=-；
由f（x）在x=1處取到極值2，故f′（1）=0，f（1）=2即，
解得m=4，n=1，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)f（x）在x=1處取得極值．故（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的定義域?yàn)镽，且f（-x）=-f（x）．故f（x）為奇函數(shù)．f（0）=0，x＞0時(shí)，f（x）＞0，f（x）=≤2．當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”．
故f（x）的值域?yàn)閇-2，2]．從而．依題意有（7分）
函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），（8分）
①當(dāng)a≤1時(shí)，g′（x）＞0函數(shù)g（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，其最小值為合題意；
②當(dāng)1＜a＜e時(shí)，函數(shù)g（x）在[1，a）上有g(shù)′（x）＜0，單調(diào)遞減，在（a，e]上有g(shù)′（x）＞0，單調(diào)遞增，所以函數(shù)g（x）最小值為f（a）=lna+1，由，得．從而知符合題意．
③當(dāng)a≥e時(shí)，顯然函數(shù)g（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，其最小值為，不合題意（11分）綜上所述，a的取值范圍為（12分）
點(diǎn)評：該題考查函數(shù)的求導(dǎo)，以及函數(shù)極值的應(yīng)用，考查一個(gè)函數(shù)小于零一個(gè)函數(shù)時(shí)，小于它的最小值．要會(huì)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．