Question

已知函數(shù)f（x）滿足：f（1）=

1

4

，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R）．則：
（1）f（0）=

 

；
（2）f（2013）=

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）利用賦值法，令x=1，y=0，即可求出f（0），
（2）利用賦值法，求出f（x+6）=f（x），可得函數(shù)f（x）是周期T=6的周期函數(shù)，利用周期性，計算即可求得答案．

解答： 解：（1）∵f（1）=

1

4

，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），
∴令x=1，y=0，4f（1）f（0）=f（1）+f（1），
即f（0）=

1

2

．
（2）∵4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），
∴令y=1，可得，4f（x）f（1）=f（x+1）+f（x-1），
又∵f（1）=

1

4

，則有f（x）=f（x+1）+f（x-1），①
用x+1替換x，得f（x+2）=f（x+1）-f（x），②
∴①+②得f（x+2）=-f（x-1），
再用x+1替換x，得f（x+3）=-f（x），③
∴f（x+6）=f[（x+3）+3]=-f（x+3）=-[-f（x）]=f（x），
∴函數(shù)f（x）是周期T=6的周期函數(shù)，
∴f（2013）=f（335×6+3）=f（3），
∵4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）
令x=y=1，得4f²（1）=f（2）+f（0），可得f（2）=-

1

4

，
令x=2，y=1，得4f（2）f（1）=f（3）+f（1），解得f（3）=-

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2

，
∴f（2013）=f（3）=-

1

2

．
故答案為：

1

2

，-

1

2

．

點評：本題給出抽象函數(shù)滿足的條件，求特殊的函數(shù)值．著重考查了函數(shù)的定義、函數(shù)值的求法和賦值法研究抽象函數(shù)的等知識．準確找出周期是此類問題（項數(shù)很大）的關(guān)鍵，分別可以用歸納法和演繹法得出周期．