Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，其中向量$\overrightarrow a$=（2cosx，1），$\overrightarrow b$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的最值．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=（2cosx，1）•（cosx，$\sqrt{3}$sin2x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（Ⅱ）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，f（x）∈[1-$\sqrt{3}$，3]，
即函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值為3，最小值為1-$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性、定義域和值域，屬于中檔題．