Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求方程的實數(shù)解；

（Ⅱ）如果數(shù)列滿足，（），是否存在實數(shù)，使得對所有的都成立？證明你的結(jié)論．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)數(shù)列的前項的和為，證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）存在使得;（Ⅲ）見解析.

【解析】（Ⅰ）由題意，通過解分式方程即可得方程的實數(shù)解析；（Ⅱ）通過函數(shù)的單調(diào)性判斷數(shù)列通項的范圍，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得通項的范圍，構(gòu)造新數(shù)列，通過計算數(shù)列的前和及其范圍，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明之.

試題解析：（Ⅰ）；

（Ⅱ）存在使得．

證法1：因為，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以．因為，所以由得且．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．

因為，所以當(dāng)時結(jié)論成立．

假設(shè)當(dāng)時結(jié)論成立，即．由于為上的減函數(shù)，所以，從而，

因此，

即．

綜上所述，對一切，都成立，

即存在使得．

證法2：，且

是以為首項，為公比的等比數(shù)列.

所以.

易知，所以當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，

即存在，使得.

（Ⅲ）證明：由（2），我們有，從而.

設(shè)，則由得.

由于，

因此n=1，2，3時，成立，左邊不等式均成立．

當(dāng)n>3時，有，

因此．

從而．即．

解法2: 由（Ⅱ）可知，所以

，所以

所以

所以當(dāng)為偶數(shù)時，；所以當(dāng)為奇數(shù)時，

即.(其他解法酌情給分)