Question

(本小題滿分12分)[來源:學.科.網(wǎng)Z.X.X.K]

設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點.

（1）若是該橢圓上的一個動點，求的取值范圍;

（2）設(shè)過定點Q(0,2)的直線與橢圓交于不同的兩點M、N，且∠為銳角（其中為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍.

（3）設(shè)是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點．求四邊形面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）或

（3）的最大值為．

【解析】解法一：易知

所以，設(shè)，則

故.………………………………………………………………2分

（2）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，

聯(lián)立，消去，整理得：………………………3分

∴

由得：………………………5分

又0°<∠MON<90°cos∠MON>0>0  ∴

又

∵，即  ∴

故由①、②得或……………………………………………………7分

（3）解法一：根據(jù)點到直線的距離公式和①式知，點到的距離分別為，

．……………………………………………9分

又，所以四邊形的面積為=，

…………………………………………………11分

 

當，即當時，上式取等號．所以的最大值為．………12分

解法二：由題設(shè)，，．

設(shè)，，由①得，，……………………9分

故四邊形的面積為

，

…………………………………………………11分

 

當時，上式取等號．所以的最大值為．…………………………………12分