(2012•黃浦區(qū)二模)對n∈N*,定義函數(shù)fn(x)=-(x-n)2+n,n-1≤x≤n.
(1)求證:y=fn(x)圖象的右端點與y=fn+1(x)圖象的左端點重合;并回答這些端點在哪條直線上.
(2)若直線y=knx與函數(shù)fn(x)=-(x-n)2+n,n-1≤x≤n(n≥2,n∈N*)的圖象有且僅有一個公共點,試將kn表示成n的函數(shù).
(3)對n∈N*,n≥2,在區(qū)間[0,n]上定義函數(shù)y=f(x),使得當(dāng)m-1≤x≤m(n∈N*,且m=1,2,…,n)時,f(x)=fm(x).試研究關(guān)于x的方程f(x)=fn(x)(0≤x≤n,n∈N*)的實數(shù)解的個數(shù)(這里的kn是(2)中的kn),并證明你的結(jié)論.
分析:(1)由fn(n)=n 得 y=fn(x)圖象右端點的坐標(biāo)為(n,n),由fn+1(n)=n得 y=fn+1(x)圖象左端點的坐標(biāo)為(n,n),故兩端點重合,且這些點在直線y=x上.
(2)由題設(shè)及(1)的結(jié)論方程-(x-n)2+n=kn•x可得 1<kn<2,且kn單調(diào)遞減.在n-1≤x≤n上有兩個相等的實數(shù)根.求出方程的兩個根,求得 kn=2n-2
n2-n
,
(n≥2,n∈N*).
(3)當(dāng)n≥2時,求得 kn=
2
1+ 
1-
1
n
,可得 1<kn<2,且kn單調(diào)遞減.分①當(dāng)n≥3時,和②當(dāng)n=2時兩種情況,分別求得方程 f(x)=kn•x( 0≤x≤n,n∈N*)的實數(shù)解的
個數(shù)為2n-1,從而證得結(jié)論.
解答:(1)證明:由fn(n)=n 得 y=fn(x)圖象右端點的坐標(biāo)為(n,n),
由fn+1(n)=n得 y=fn+1(x)圖象左端點的坐標(biāo)為(n,n),故兩端點重合.  (2分)
并且對 n∈N*,這些點在直線y=x上.(4分)
(2)由題設(shè)及(1)的結(jié)論,兩個函數(shù)圖象有且僅有一個公共點,即方程-(x-n)2+n=kn•x在 滿足n-1≤x≤n的區(qū)間上有兩個相等的實數(shù)根.
整理方程得 x2+(kn-2n)x+n2-n=0,
由△=( kn-2n)2-4(n2-n)=0,解得 kn=2n±2
n2-n
,(8分)
此時方程的兩個實數(shù)根x1,x2相等,由 x1+x2=2n-kn
得 x1=x2=
2n-n
2
=[2n±2
n2-n
]=m
n2-n

因為 n-1≤x1=x2≤n,所以只能 kn=2n-2
n2-n
,(n≥2,n∈N*).(10分)
(3)當(dāng)n≥2時,求得 kn=2n-2
n2-n
=
2n
n+ 
n2-n
=
2
1+ 
1-
1
n
,
可得 1<kn<2,且kn單調(diào)遞減.                                                      (14分)
①當(dāng)n≥3時,對于2≤i≤n-1,總有1<kn<ki,亦即直線y=knx與函數(shù)fi(x)的圖象總有兩個不同的公共點(直線y=knx在直線y=x與直線y=ki x之間).
對于函數(shù)fi(x)來說,因為 1<kn<2,所以方程 kn•x=fi(x)有兩個解:x1=0,x2=2-kn∈(0,1).
此時方程f(x)=kn•x( 0≤x≤n,n∈N*)的實數(shù)解的個數(shù)為2(n-1)+1=2n-1.(16分)
②當(dāng)n=2時,因為1<k2<2,所以方程 k2x=fi(x)有兩個解.此時方程f(x)=k2x.
(0≤x≤2)的實數(shù)解的個數(shù)為3.    (17分)
綜上,當(dāng)n≥2,n∈N*時,方程 f(x)=kn•x( 0≤x≤n,n∈N*)的實數(shù)解的個數(shù)為2n-1.  (18分)
點評:本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系,二次函數(shù)的性質(zhì),體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
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(2012•黃浦區(qū)二模)已知α、β∈(0,
π
2
),若cos(α+β)=
5
13
,sin(α-β)=-
4
5
,則cos2α=
63
65
63
65

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2
2

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②函數(shù)f(x)一定存在零點;
③函數(shù)在區(qū)間(-∞,a]上單調(diào)遞減;
④當(dāng)0<a<1時,函數(shù)f(x)的最小值為a-a2
那么所有真命題的序號是
①④
①④

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(2012•黃浦區(qū)二模)函數(shù)f(x)=log
1
2
(2x+1)
的定義域為
(-
1
2
,+∞)
(-
1
2
,+∞)

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