Question

在三角形△ABC中，BC=1，sin(A-

π

4

)=

2

10

．
（Ⅰ）求sinA的值；  
（Ⅱ）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把已知的第二個等式左邊利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，得到sinA-cosA=

1

5

①，然后左右兩邊平方，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，求出sin2A的值，再利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡（sinA+cosA）²，將sin2A的值代入，開方求出sinA+cosA=

7

5

②，聯(lián)立①②即可求出sinA的值；
（Ⅱ）由sinA的值，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積S，再利用余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，將a，cosA的值代入，并利用基本不等式求出bc的最大值，即可得出三角形面積的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由sin(A-

π

4

)=sinAcos

π

4

-cosAsin

π

4

=

2

10

，
即

2

2

（sinA-cosA）=

2

10

，
∴sinA-cosA=

1

5

，
∴(sinA-cosA)2=1-sin2A=

1

25

，
∴sin2A=

24

25

，且角A為銳角，
又(sinA+cosA)2=1+sin2A=1+

24

25

=

49

25

，
sinA+cosA=

7

5

，sinA+cosA=-

7

5

（舍去），
聯(lián)立得：

sinA-cosA= 1 5 sinA+cosA= 7 5

，
解得：sinA=

4

5

；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的角A，B，C所對的三邊長分別為a，b，c，
∵sinA=

4

5

，cosA=

3

5

，
∴S=

1

2

bcsinA=

1

2

bc×

4

5

=

2

5

bc，
由余弦定理有a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bc×

3

5

，
∴1≥2bc-

6

5

bc=

4

5

bc，即bc≤

5

4

，
∴S=

2

5

bc≤

2

5

×

5

4

=

1

2

，
則△ABC面積的最大值為

1

2

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，三角形的面積公式，余弦定理，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．