已知函數(shù)f(x)=mlnx+(m-1)x(m∈R).
(Ⅰ)當(dāng)m=2時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)討論f(x)的單調(diào)性;
( III)若f(x)存在最大值M,且M>0,求m的取值范圍.

解:(Ⅰ)當(dāng)m=2時(shí),f(x)=2lnx+x.
所以f'(1)=3.
又f(1)=1,
所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程是y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
(Ⅱ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),
當(dāng)m≤0時(shí),由x>0知恒成立,
此時(shí)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減.
當(dāng)m≥1時(shí),由x>0知恒成立,
此時(shí)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.
當(dāng)0<m<1時(shí),由f'(x)>0,得,由f'(x)<0,得,
此時(shí)f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
( III)由(Ⅱ)知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),
當(dāng)m≤0或m≥1時(shí),f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào),此時(shí)函數(shù)f(x)無最大值.
當(dāng)0<m<1時(shí),f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,
所以當(dāng)0<m<1時(shí)函數(shù)f(x)有最大值,最大值
因?yàn)镸>0,所以有,解之得
所以m的取值范圍是
分析:(Ⅰ)當(dāng)m=2時(shí)求出導(dǎo)數(shù)f′(x),則切線斜率k=f′(1),f(1)=1,利用點(diǎn)斜式即可求得切線方程;
(Ⅱ)先求出函數(shù)定義域,在定義域內(nèi)分m≤0,m≥1,0<m<1三種情況解不等式f′(x)>0,f′(x)<0即可;
( III)分情況進(jìn)行討論:當(dāng)m≤0或m≥1時(shí)f(x)單調(diào),最值情況易判斷;當(dāng)0<m<1時(shí),由單調(diào)性易求得其最大值,令其大于0,解出即可;
點(diǎn)評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及切線問題,考查分類討論思想,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬中檔題.
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已知函數(shù)f(x)=m•2x+t的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)、B(2,3)及C(n,Sn),Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,n∈N*
(1)求Sn及an;
(2)若數(shù)列{cn}滿足cn=6nan-n,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

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已知函數(shù)f(x)=m(x+
1
x
)的圖象與h(x)=(x+
1
x
)+2的圖象關(guān)于點(diǎn)A(0,1)對稱.
(1)求m的值;
(2)若g(x)=f(x)+
a
4x
在(0,2]上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
m
n
,其中
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx)
,
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx),其中ω>0,若f(x)相鄰兩對稱軸間的距離不小于
π
2

(Ⅰ)求ω的取值范圍;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,a=
3
,b+c=3,當(dāng)ω最大時(shí),f(A)=1,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

以下兩題任選一題:(若兩題都作,按第一題評分)
(一):在極坐標(biāo)系中,圓ρ=2cosθ的圓心到直線θ=
π
3
(ρ∈R)的距離
3
2
3
2
;
(二):已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,當(dāng)不等式f(x+2)≥0的解集為[-2,2]時(shí),實(shí)數(shù)m的值為
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集為[-1,1].
(1)求m的值;
(2)若a,b,c∈R+,且
1
a
+
1
2b
+
1
3c
=m,求Z=a+2b+3c的最小值.

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