Question

（1）當k∈N^*時，求證：(1+

3

)k+(1-

3

)k是正整數(shù)；
（2）試證明大于(1+

3

)2n的最小整數(shù)能被2ⁿ⁺¹整除（n∈N*）

Answer 1

分析：（1）利用二項式定理對（1+

3

）^k和（1-

3

）^k展開，求出(1+

3

)k+(1-

3

)k的第r+1項可以用C_k^r•[（

3

）^k-r+（-1）^k-r•（

3

）^k-r]表示，對k-r分奇偶討論，即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)-1＜1-

3

＜0，求出大于(1+

3

)2n的最小整數(shù)為(1+

3

)2n+(1-

3

)2n，然后利用二項式定理展開即可證明結(jié)論．

解答：（1）證明：根據(jù)二項式定理可得：（1+

3

）^k的展開式的通項為T_r+1=C_k^r•（

3

）^k-r，（1-

3

）^k的展開式的通項為T_r+1=C_k^r•（-1）^k-r•（

3

）^k-r；
則(1+

3

)k+(1-

3

)k的第r+1項可以用C_k^r•[（

3

）^k-r+（-1）^k-r•（

3

）^k-r]表示；
當k-r為奇數(shù)時，C_k^r•[（

3

）^k-r+（-1）^k-r•（

3

）^k-r]=0，當k-r為偶數(shù)時，C_k^r•[（

3

）^k-r+（-1）^k-r•（

3

）^k-r]=2C_k^r•（

3

）^k-r，是正整數(shù)，
因此(1+

3

)k+(1-

3

)k是正整數(shù)；
（2）大于(1+

3

)2n的最小整數(shù)為(1+

3

)2n+(1-

3

)2n
因為-1＜1-

3

＜0，所以0＜（1-

3

）²ⁿ＜1，
即（1+

3

）²ⁿ加上此小數(shù)為一個正整數(shù)．因此大于（1+

3

）²ⁿ的最小整數(shù)為(1+

3

)2n+(1-

3

)2n．
記a=

3

，則a²=3，由二項式展開，正負相消得
（1+

3

）²ⁿ+（1-

3

）²ⁿ=（1+3+2a）ⁿ+（1+3-2a）ⁿ=2ⁿ[（2+a）ⁿ+（2-a）ⁿ]=2ⁿ⁺¹[2ⁿ+2^n-23•C_n²+…]
因此能被2ⁿ⁺¹整除．

點評：本題是中檔題．考查二項式定理的應用，同時考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力和運算能力．