Question

已知數(shù)列{a_n}的前項n和為S_n，a₁=1，S_n與-3S_n+1的等差中項是-

3

2

，n∈N^*．
（1）證明：數(shù)列{S_n-

3

2

}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：等比關(guān)系的確定,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意易得S_n+1=

1

3

S_n+1，可得S_n+1-

3

2

=

1

3

（S_n-

3

2

），可得數(shù)列{S_n-

3

2

}是以-

1

2

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）得S_n=

3

2

-

1

2

×(

1

3

)n-1，當n≥2時，a_n=

1

3n-1

，a₁=1也適合，可得a_n=

1

3n-1

．

解答： 解：（1）∵S_n與-3S_n+1的等差中項是-

3

2

，
∴S_n-3S_n+1=-3，即S_n+1=

1

3

S_n+1，
∴S_n+1-

3

2

=（

1

3

S_n+1）-

3

2

=

1

3

S_n-

1

2

=

1

3

（S_n-

3

2

），
∴

Sn+1- 3 2

Sn- 3 2

=

1

3

，又S₁-

3

2

=a₁-

3

2

=-

1

2

，
∴數(shù)列{S_n-

3

2

}是以-

1

2

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）得S_n-

3

2

=-

1

2

×(

1

3

)n-1，∴S_n=

3

2

-

1

2

×(

1

3

)n-1，
∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

1

3n-1

，
又n=1時，a₁=1也適合上式，
∴a_n=

1

3n-1

點評：本題考查等比數(shù)列的求和公式和性質(zhì)，涉及等比關(guān)系的確定，屬中檔題．