Question

如果函數(shù)y=f（x）圖象上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）都滿足方程1g（x+y）=1gx+1gy，那么正確的選項(xiàng)是（　�。�

A．y=f（x）是區(qū)間（1，+∞）上的減函數(shù)，且xy≥4

B．y=f（x）是區(qū)間（1，+∞）上的增函數(shù)，且xy≤4

C．y=f（x）是區(qū)間（1，+∞）上的減函數(shù)，且xy≤4

D．y=f（x）是區(qū)間（1，+∞）上的增函數(shù)，且xy≥4

Answer 1

分析：由方程1g（x+y）=1gx+1gy，可得x+y=xy，化為y=

x

x-1

=1+

1

x-1

（x＞1，y＞1），利用反比例函數(shù)可得y=f（x）=1+

1

x-1

在（1，+∞）上單調(diào)遞減，再利用基本不等式可得xy=x+y≥2

xy

，得到xy≥4．即可．

解答：解：由方程1g（x+y）=1gx+1gy，可得x+y=xy，化為y=

x

x-1

=1+

1

x-1

（x＞1，y＞1），
∴y=f（x）=1+

1

x-1

在（1，+∞）上單調(diào)遞減，且xy=x+y≥2

xy

，得到xy≥4．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算、函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于中檔題．