Question

設(shè)A，B是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，∠PAB=α，∠PBA=β，∠BPA=γ，c、e分別是橢圓的半焦距、離心率．求：
（1）|PA|；
（2）tanα•tanβ；
（3）S_△PAB．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由正弦定理可得|PA|；
（2）設(shè)P（x，y），則tanα•tanβ=

y

x+a

•

y

a-x

=

y2

a2-x2

，可得結(jié)論；
（3）S_△PAB=

1

2

×2a×

2asinβ

sinγ

×sinα，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）由正弦定理可得|PA|=

2asinβ

sinγ

；
（2）設(shè)P（x，y），則利用橢圓的定義可得tanα•tanβ=

y

x+a

•

y

a-x

=

y2

a2-x2

=

b2

a2

；
（3）由三角形的面積公式可得S_△PAB=

1

2

×2a×

2asinβ

sinγ

×sinα=

a2sinαsinβ

sinγ

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查正弦定理，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．