已知任意n個(gè)整數(shù)a1，a2，…，an，由此得到一列新的數(shù)．

由這n個(gè)數(shù)依同樣法則又得到一列新數(shù)，并如此做下去．假如所有這些新數(shù)都是整數(shù)，證明原來(lái)所給各數(shù)ai(i＝1，2，…，n)都相等．

證明：對(duì)于任給的n個(gè)數(shù)xi(1≤i≤n)，如果它們不全相等，那么施行如上運(yùn)算若干次后得的新數(shù)中，最大值要變小，最小值要變大，因此，如若不能得出一組n個(gè)相同的數(shù)的話，其中最大數(shù)不能永遠(yuǎn)是整數(shù)．

假設(shè)從一組n個(gè)數(shù)z1，z2，…，zn得到n個(gè)相同的數(shù)

那么，當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，易知z1＝z2＝…＝zn；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，z1，…，zn中奇數(shù)項(xiàng)相等，偶數(shù)項(xiàng)相等．

若zi(1≤i≤n)由yi(1≤i≤n)經(jīng)運(yùn)算得出，且設(shè)

則有                                2(y1＋y2＋…＋yn)＝2na

及                                2(y2＋y3＋…＋yn＋y1)＝2nb

從而                                      2na＝2nb，a＝b

由此得出z1＝z2＝…＝zn＝a

因此，我們的命題成立．

僅當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，有一種例外情況：n個(gè)整數(shù)a，b，a，b，…，a，b，(a與b的奇偶性相同，a≠b)滿足題中條件，但結(jié)論不成立．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=2，公比為q（q為正整數(shù)），且滿足3a3是8a1與a5的等差中項(xiàng)；數(shù)列{bn}滿足2n2-（t+bn）n+
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bn=0（t∈R，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）試確定t的值，使得數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；
（3）當(dāng){bn}為等差數(shù)列時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)k，在ak與ak+1之間插入2共bk個(gè)，得到一個(gè)新數(shù)列{cn}．設(shè)Tn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，試求滿足Tn=2cm+1的所有正整數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•汕尾二模）設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知an+1=2Sn+2(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）在an與an+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成公差為dn的等差數(shù)列（如：在a1與a2之間插入1個(gè)數(shù)構(gòu)成第一個(gè)等差數(shù)列，其公差為d1；在a2與a3之間插入2個(gè)數(shù)構(gòu)成第二個(gè)等差數(shù)列，其公差為d2，…以此類推），設(shè)第n個(gè)等差數(shù)列的和是An．是否存在一個(gè)關(guān)于n的多項(xiàng)式g（n），使得An=g（n）dn對(duì)任意n∈N*恒成立？若存在，求出這個(gè)多項(xiàng)式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）對(duì)于（2）中的數(shù)列d1，d2，d3，…，dn，…，這個(gè)數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)dm，dk，dp（其中正整數(shù)m，k，p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若對(duì)任何實(shí)數(shù)α∈（0，1）以及D中的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x1，x2，恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2），則稱f（x）為定義在D上的C函數(shù)．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f1(x)=x2，f2=
1x
(x＜0)是否為各自定義域上的C函數(shù)，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）已知f（x）是R上的C函數(shù)，m是給定的正整數(shù)，設(shè)an=fn，n=0，1，2，…，m，且a0=0，am=2m．記Sf=a1+a2+…+am對(duì)于滿足條件的任意函數(shù)f（x），試求Sf的最大值；
（Ⅲ）若g（x）是定義域?yàn)镽的函數(shù)，且最小正周期為T，試證明g（x）不是R上的C函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•深圳一模）已知各項(xiàng)為實(shí)數(shù)的數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且a1=2，a5+a7=8（a2+a4）．?dāng)?shù)列{bn}滿足：對(duì)任意正整數(shù)n，有a1b1+a2b2+…+anbn=(n-1)•2n+1+2．
（1）求數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）在數(shù)列{an}的任意相鄰兩項(xiàng)ak與ak+1之間插入k個(gè)（-1）kbk（k∈N*）后，得到一個(gè)新的數(shù)列{cn}．求數(shù)列{cn}的前2012項(xiàng)之和．

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