Question

已知函數(shù)f（x）=

3x+2

x+2

．
（1）若數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=f（a_n），b_n=

1

an+1

，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記S_n=b₁+b₂+…+b_n若

1

Sn

≤m恒成立．求m的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)式結(jié)合a_n+1=f（a_n），b_n=

1

an+1

得到數(shù)列{bn-

1

3

}是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）利用分組求和求出S_n=b₁+b₂+…+b_n，取倒數(shù)后利用函數(shù)的單調(diào)性求出

1

Sn

的最大值，則使

1

Sn

≤m恒成立的m的最小值可求．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3x+2

x+2

，a_n+1=f（a_n），
∴an+1=

3an+2

an+2

，又b_n=

1

an+1

，
則bn+1=

1

an+1+1

=

1

3an+2 an+2 +1

=

1

4

bn+

1

4

．
即bn+1-

1

3

=

1

4

(bn-

1

3

)．
∵a₁=

1

2

，
∴b1=

1

a1+1

=

2

3

，b1-

1

3

=

1

3

．
∴bn-

1

3

=

1

3

•(

1

4

)n-1．
則bn=

1

3

+

1

3

•(

1

4

)n-1；
（2）記S_n=b₁+b₂+…+b_n=

n

3

+

1

3

(1+

1

4

+

1

42

+…+

1

4n-1

)
=

n

3

+

1

3

•

1- 1 4n

1- 1 4

=

n

3

+

4

9

(1-

1

4n

)=

3n•4n-1+4n-1

9•4n-1

．
∴

1

Sn

=

9•4n-1

3n•4n-1+4n-1

=

9

3n+4- 1 4n-1

．該函數(shù)在n∈N^*時(shí)是減函數(shù)，
∴(

1

Sn

)max=

3

2

．
∴使

1

Sn

≤m恒成立的m的最小值為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了數(shù)列的分組求和，考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，是壓軸題．