Question

已知圓C₁：（x-4）²+y²=1，圓C₂：x²+（y-2）²=1，動(dòng)點(diǎn)P到圓C₁，C₂上點(diǎn)的距離的最小值相等．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）點(diǎn)P的軌跡上是否存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到點(diǎn)A（，0）的距離減去點(diǎn)Q到點(diǎn)B（）的距離的差為4，如果存在求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，如果不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），圓C₁：（x-4）²+y²=1的圓心坐標(biāo)為（4，0），圓C₂：x²+（y-2）²=1的圓心坐標(biāo)為（0，2）
∵動(dòng)點(diǎn)P到圓C₁，C₂上點(diǎn)的距離的最小值相等
∴|PC₁|=|PC₂|
∴
化簡(jiǎn)得：y=2x-3
因此點(diǎn)P的軌跡方程是y=2x-3；
（2）假設(shè)這樣的Q點(diǎn)存在，因?yàn)辄c(diǎn)Q到點(diǎn)A（，0）的距離減去點(diǎn)Q到點(diǎn)B（）的距離的差為4，
所以Q點(diǎn)在以A（，0）和B（）為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的右支上，
即Q點(diǎn)在曲線上，
∵Q點(diǎn)在直線l：y=2x-3上
∴代入曲線方程可得3x²-12x+13=0
∴△=12²-4×3×13＜0，方程組無(wú)解，
所以點(diǎn)P的軌跡上不存在滿足條件的點(diǎn)Q．
分析：（1）利用動(dòng)點(diǎn)P到圓C₁，C₂上點(diǎn)的距離的最小值相等，建立方程，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）根據(jù)點(diǎn)Q到點(diǎn)A（，0）的距離減去點(diǎn)Q到點(diǎn)B（）的距離的差為4，可得Q的方程，與直線l：y=2x-3聯(lián)立，利用判別式可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．