Question

過橢圓Γ：＝1(a＞b＞0)右焦點F₂的直線交橢圓于A，B兩點，F₁為其左焦點，已知△AF₁B的周長為8，橢圓的離心率為.

(1)求橢圓Γ的方程；

(2)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓Γ恒有兩個交點P，Q，且？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解析：　(1)由已知得∴b²＝a²－c²＝1，

故橢圓Γ的方程為＋y²＝1.

(2)假設(shè)滿足條件的圓存在，其方程為x²＋y²＝r²(0＜r＜1)．

當直線PQ的斜率存在時，設(shè)其方程為y＝kx＋t，

由消去y整理得(1＋4k²)x²＋8ktx＋4t²－4＝0.

設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

則x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝.①

∵，∴x₁x₂＋y₁y₂＝0.

又y₁＝kx₁＋t，y₂＝kx₂＋t，

∴x₁x₂＋(kx₁＋t)(kx₂＋t)＝0，

即(1＋k²)x₁x₂＋kt(x₁＋x₂)＋t²＝0.②

將①代入②得＋t²＝0，

即t²＝(1＋k²)．

∵直線PQ與圓x²＋y²＝r²相切，

∴r＝∈(0,1)，

∴存在圓x²＋y²＝滿足條件．

當直線PQ的斜率不存在時，也適合x²＋y²＝.

綜上所述，存在圓心在原點的圓x²＋y²＝滿足條件．