Question

2．已知函數(shù)$f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）把函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位后得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)$h（x）=ax+\frac{1}{2}g（2x）-g（x）$在（-∞，+∞）單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，可得h（x）的解析式，再根據(jù)h′（x）≥0恒成立，求得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)$f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$的部分圖象，
可得A=1，$\frac{T}{2}$=$\frac{5π}{4}$-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{ω}$，∴ω=1．
再根據(jù)五點法作圖可得1•$\frac{π}{4}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{4}$，∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）．
（Ⅱ）把函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位后得到函數(shù)g（x）=sin（x-$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=sinx的圖象
函數(shù)$h（x）=ax+\frac{1}{2}g（2x）-g（x）$=ax+$\frac{1}{2}$sin2x-sinx 在（-∞，+∞）單調(diào)遞增，
∴h′（x）=a+cos2x-cosx=2cos²x-cosx-1+a=2${（cosx-\frac{1}{4}）}^{2}$-$\frac{9}{8}$+a≥0恒成立，
∴-$\frac{9}{8}$+a≥0恒成立，即a≥$\frac{9}{8}$恒成立，故a的范圍為[$\frac{9}{8}$，+∞）．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值．還考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．