Question

AB⊥平面BCED，，四邊形BCED是邊長為2的菱形，且∠DBC=60°，將△CDE沿CD折起，使平面BCD⊥平面MCD．
（1）求點A到平面BMC的距離；
（2）求平面ACM與平面BCD所成二面角的正弦值．

Answer 1

解：（1）如圖，取CD中點O，連OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD，…（1分）
又平面MCD⊥平面BCD，則MO⊥平面BCD，…（3分）
所以MO∥AB，…（4分）
所以A、B、O、M共面，
延長AM、BO相交于E，則∠AEB就是AM與平面BCD所成的角，OB=MO=，
∵MO∥AB，∴MO∥面ABC，∴M、O到平面ABC的距離相等，…（6分）
作OH⊥BC于H，連接MH，則MH⊥BC，求得OH=OCsin60°=，MH=，…（8分）
利用體積相等得，V_A-MBC=V_M-ABC，
∴．…（10分）
（2）CE是平面ACM與平面BCD的交線，由（1）知，O是BE的中點，則BCED是菱形，
作BF⊥EC于F，連接AF，則AF⊥EC，所以∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，…（12分）
設∠AFB為θ，因為∠BCE=120°，所以∠BCF=60°，
所以BF=BC•sin60°=，tanθ=，
所以，所求二面角的正弦值是．…（14分）
分析：（1）取CD中點O，連OB，OM，可得MO∥AB，延長AM、BO相交于E，則∠AEB就是AM與平面BCD所成的角，OB=MO=，可證M、O到平面ABC的距離相等，作OH⊥BC于H，連接MH，則MH⊥BC，利用體積相等，可得點A到平面BMC的距離；
（2）作BF⊥EC于F，連接AF，則AF⊥EC，所以∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，求出AB，BF的值，即可求二面角的正弦值．
點評：本題考查點到面的距離，考查面面角，解題的關鍵是利用等體積求點到面的距離，正確作出面面角，屬于中檔題．