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設函數f（x）=3ax2-2（a+c）x+c，（a＞c＞0）．
（1）判斷函數f（x）在區(qū)間[1，+∞）的單調性；
（2）函數f（x）在區(qū)間（0，1）內是否有零點，有幾個零點？為什么？

解：（I）因為二次函數f（x）=3ax2-2（a+c）x+c的圖象的對稱軸，
因為由條件a＞c＞0，得2a＞a+c，
所以，
所以二次函數f（x）的對稱軸在區(qū)間[1，+∞）的左邊，且拋物線的開口向上，
所以f（x）在區(qū)間[1，+∞）是增函數．
（II）由（I）可得：二次函數f（x）=3ax2-2（a+c）x+c圖象的對稱軸是．
因為f（0）=c＞0，f（1）=a-c＞0，而=＜0，
所以函數f（x）在區(qū)間和內分別有一零點．
故函數f（x）在區(qū)間（0，1）內有兩個零點．
分析：（I）由題意可得：二次函數的對稱軸為，由條件可得：2a＞a+c，所以，進而得到答案．
（II）二次函數的對稱軸是，因為f（0）=c＞0，f（1）=a-c＞0，而=＜0，根據根的存在性定理即可得到答案．
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握二次函數的有關性質，以及根的存在性定理．
練習冊系列答案
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3a-4
a+1
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a+1
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設函數f（x）=ax+3a（其中a＞0且a≠1）．
（1）求函數y=f-1（x）的解析式；
（2）設函數g（x）=loga（x-a），h（x）=f-1（x）+g（x），如果當x∈[a+2，+∞）時，h（x）≤1恒成立，求a的取值范圍．

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（2013•寧波二模）設函數f（x）=lnx+ax2-（3a+1）x+（2a+1），其中a∈R．
（Ⅰ）如果x=1是函數f（x）的一個極值點，求實數a的值及f（x）的最大值；
（Ⅱ）求實數a的值，使得函數f（x）同時具備如下的兩個性質：
①對于任意實數x1，x2∈（0，1）且x1≠x2，
f(x1)+f(x2)
2
＜f(
x1+x2
2
)恒成立；
②對于任意實數x1，x2∈（1，+∞）且x1≠x2，
f(x1)+f(x2)
2
＞f(
x1+x2
2
)恒成立．

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