Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-bx²圖象上一點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為y=-3x+2ln2+2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若方程f（x）+m=0在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，求m的取值范圍（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-kx，若g（x）的圖象與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）（其中x₁＜x₂），AB的中點(diǎn)為C（x，0），求證：g（x）在x處的導(dǎo)數(shù)g′（x）≠0．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）只需要利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可獲得兩個(gè)方程解得兩個(gè)未知數(shù)；
（Ⅱ）先要利用導(dǎo)數(shù)研究好函數(shù)h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性及在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根通過(guò)數(shù)形結(jié)合易知m滿足的關(guān)系從而問(wèn)題獲得解答；
（Ⅲ）用反證法現(xiàn)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有關(guān)方程根的形式，在通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而通過(guò)最值性找到矛盾即可獲得解答．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=-2bx，，f（2）=aln2-4b．
∴，且aln2-4b=-6+2ln2+2．
解得a=2，b=1．
（Ⅱ）f（x）=2lnx-x²，令h（x）=f（x）+m=2lnx-x²+m，
則，
令h′（x）=0，得x=1（x=-1舍去）．
在內(nèi)，
當(dāng)時(shí)，h′（x）＞0，
∴h（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，h′（x）＜0，
∴h（x）是減函數(shù)，
則方程h（x）=0在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根的充要條件是：

即．
（Ⅲ）g（x）=2lnx-x²-kx，．
假設(shè)結(jié)論成立，則有：

①-②，得．
∴．
由④得，
∴
即，即．⑤
令，（0＜t＜1），
則＞0．
∴u（t）在0＜t＜1上增函數(shù)，
∴u（t）＜u（1）=0，
∴⑤式不成立，與假設(shè)矛盾．
∴g'（x）≠0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是函數(shù)與方程以及導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、問(wèn)題轉(zhuǎn)化的思想以及反證法．值得同學(xué)們體會(huì)反思．