已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M，N為側(cè)棱PC上的兩個三等分點，如圖所示，
(Ⅰ)求證：AN∥平面MBD；
(Ⅱ)求異面直線AN與PD所成角的余弦值；
(Ⅲ)求二面角M-BD-C的余弦值。

(Ⅰ)證明：連接AC交BD于O，連接OM，
∵底面ABCD為矩形，
∴O為AC中點， 
∵M，N為側(cè)棱PC的三等分點，
∴CN= MN，∴OM∥AN， 
∵OM平面MBD，AN平面MBD，
∴AN∥平面MBD。

(Ⅱ)解：如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(3，6，0)，D(0，6，0)，
P(0，0，3)，M(2，4，1)，N(1，2，2)，
，
∴，
∴異面直線AN與PD所成角的余弦值為。
(Ⅲ)解：∵側(cè)棱PA ⊥底面ABCD，
∴平面BCD的一個法向量為=(0，0，3)，
設(shè)平面MBD的一個法向量為m=(x，y，z)，
 ，并且，
∴，
令y=1，得x=2，x= -2，
∴平面MBD 的一個法剛量為m=(2，1，-2)，
∴，
由圖可知二面角M- BD-C的大小是銳角，
二面角M-BD-C大小的余弦值為。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點，F(xiàn)為AD的中點．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，側(cè)面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中點．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求證：PA⊥BD
（3）若二面角D-PA-O的余弦值為
10
5
，求PB的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E為BC中點，AE與BD交于O點，AB=BC=2CD=2，BD⊥PE．
（1）求證：平面PAE⊥平面ABCD； 
（2）若直線PA與平面ABCD所成角的正切值為
5
2
，PO=2，求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是線段PC上一點，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAB．
（Ⅱ）若PA=4，AB=2，BC=1，求直線AC與平面PCD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年山東省濟寧一中高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點，F(xiàn)為AD的中點．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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