如圖，已知圓O：x2＋y2＝4與y軸正半軸交于點P，A(－1，0)，B(1，0)，直線l與圓O切于點S(l不垂直于x軸)，拋物線過A、B兩點且以l為準(zhǔn)線．

(Ⅰ)當(dāng)點S在圓周上運動時，求證：拋物線的焦點Q始終在某一橢圓C上，并求出該橢圓C的方程；

(Ⅱ)設(shè)M、N是(Ⅰ)中橢圓C上除短軸端點外的不同兩點，且，問：△MON的面積是否存在最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)證明：設(shè)Q(x，y)，如圖所示，作，垂直于直線l，，為垂足，連結(jié)AQ，BQ，OS，則OS⊥l

　　∵OS是直角梯形B的中位線，

　　∴||＋||＝2|OS|

　　由拋物線的定義，知||＝|AQ|，||＝|BQ|．

　　∴|QA|＋|QB|＝||＋||＝2|OS|＝4＞2＝|AB|，　　3分

　　由橢圓的定義，得焦點Q在以A，B為焦點的橢圓

　　上，且2a＝4，2c＝2，∴b2＝3

　　∴橢圓C的方程為　　　　　　　　　　　5分

　　(Ⅱ)∵

　　∴P、M、N三點共線　　　　　　　　　　　　　　　6分

　　由題意，直線PN的斜率存在，設(shè)直線PN的方程為y＝kx＋2，

　　代入橢圓方程，得

　　由　　　　8分

　　設(shè)，由韋達(dá)定理，得，

　　∴

　　原點O到直線PN的距離為　　　　10分

　　∴

　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　13分

　　當(dāng)且僅當(dāng)時，即k＝±時取等號．

　　∴△MON的面積有最大值　　　　　　　　14分


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知圓O：x2+y2=1，O為坐標(biāo)原點．
（1）邊長為
2
的正方形ABCD的頂點A、B均在圓O上，C、D在圓O外，當(dāng)點A在圓O上運動時，C點的軌跡為E．
①求軌跡E的方程；
②過軌跡E上一定點P（x0，y0）作相互垂直的兩條直線l1，l2，并且使它們分別與圓O、軌跡E相交，設(shè)l1被圓O截得的弦長為a，設(shè)l2被軌跡E截得的弦長為b，求a+b的最大值．
（2）正方形ABCD的一邊AB為圓O的一條弦，求線段OC長度的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點，點P（-1，1）為圓O上一點．曲線C是以AB為長軸，離心率為
2
2
的橢圓，點F為其右焦點．過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的右準(zhǔn)線l于點Q．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）證明：直線PQ與圓O相切．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知圓O：x2+y2=2交x軸于A、B兩點，P在圓O上運動（不與A、B重合），過P作直線l1，OS垂直于l1交直線l2：x=-3于點S．
（1）求證：“如果直線l1過點T（-1，0），那么
OP
•
PS
=1”為真命題；
（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分15分）如圖，已知圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為的橢圓，其右焦點為F．若點P(－1,1)為圓O上一點，連結(jié)PF，過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的右準(zhǔn)線l于點Q．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）證明：直線PQ與圓O相切．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知圓O：x2+y2=2交x軸于A，B兩點，點P(－1,1)為圓O上一點．曲線C是以AB為長軸，離心率為的橢圓，點F為其右焦點．

過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的右準(zhǔn)線l于點Q．

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：直線PQ與圓O相切．

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