Question

已知，若f（x）=ax²-2x+1在區(qū)間[1，3]上的最大值為M（a），最小值為N（a），記g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的解析表達(dá)式；
（2）若對一切都有kg（a）-1＜0成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將f（x）=ax²-2x+1配方化為，由可求，求得N（a）；根據(jù)f（x）的對稱軸在區(qū)間[1，3]的位置情況分類討論，求得M（a），從而求得g（a）的解析表達(dá)式；
（2）對，分段研究函數(shù)的單調(diào)性，從而可求得各段上g（a）及的取值范圍，及k滿足的關(guān)系式，再利用“小小取小”的恒成立思想即可解決問題．
解答：解：（1）x∈[1，3]
由知，．從而
∴當(dāng)即時，M（a）=f（3）=9a-5
當(dāng)即時，M（a）=f（1）=a-1
∴
（2）當(dāng)時，為減函數(shù)．
∴．
要使kg（a）-1＜0恒成立，則恒成立．而
∴．
又當(dāng)時，為增函數(shù)
∴
要使kg（a）-1＜0恒成立．則恒成立．而
∴
綜上得，．
點評：本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，著重考查學(xué)生分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想及恒成立思想的應(yīng)用，中檔題．