Question

在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為

x=-2- 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t為參數(shù)），它與曲線C：（y-2）²-x²=1交于A、B兩點．
（1）求|AB|的長；
（2）以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)點P的極坐標為（2

2

，

3π

4

），求點P到線段AB中點M的距離．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）設(shè)點A，B的參數(shù)分別為t₁，t₂．把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程可得t²-4t-10=0．利用|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

即可得出．
（2）利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

把點P的極坐標化為直角坐標，線段AB中點M所對的參數(shù)t=

1

2

(t1+t2)，即可得出點M的坐標，再利用兩點之間的距離公式即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)點A，B的參數(shù)分別為t₁，t₂．
把直線l的參數(shù)方程

x=-2- 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t為參數(shù)）代入曲線C：（y-2）²-x²=1，
化為t²-4t-10=0．
∴t₁+t₂=4，t₁t₂=-10．
∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

42-4×(-10)

=2

14

．
（2）由點P的極坐標（2

2

，

3π

4

），可得x_P=2

2

cos

3π

4

=-2，y_P=2

2

sin

3π

4

=2，∴P（-2，2）．
線段AB中點M所對的參數(shù)t=

1

2

(t1+t2)=2，∴x_M=-2-

1

2

×2=-3，y_M=2+

3

2

×2=2+

3

．
∴M(-3，2+

3

)．
∴|PM|=

(-2+3)2+(-2-2- 3 )2

=2．

點評：本題考查了直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用、兩點之間的距離公式、弦長公式、極坐標化為直角坐標，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．