Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+bx2+cx-3，y=f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，滿足f′（2-x）=f′（x）；f′（x）=0有解，但解卻不是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g(x)=x

f′(x)

，m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設(shè)h（x）=lnf′（x），若對(duì)于一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系求得解析式；
（2）化為二次函數(shù)利用二次函數(shù)的單調(diào)性對(duì)m進(jìn)行討論求得最值；
（3）利用不等式恒成立的條件，把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題解決．

解答： 解：（1）f'（x）=x²+2bx+c，
∵f'（2-x）=f'（x），∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，b=-1．…（2分）
由題意，f'（x）=x²-2x+c=0中△=4-4c=0，故c=1．…（3分）
所以 f(x)=

1

3

x3-x2+x-3．…（4分）
（2）∵f'（x）=x²+2bx+c=（x-1）²，
∴g（x）=x|x-1|=

x2-x   x≥1 x-x2     x＜1

，
當(dāng)0＜m≤

1

2

時(shí)，g（x）_max=g（m）=m-m²-----------------5分
當(dāng)

1

2

＜m≤

1+ 2

2

時(shí)，g（x）_max=g（

1

2

）=

1

4

，-------------7分
當(dāng)m＞

1+ 2

2

時(shí)，g（x）_max=g（m）=m²-m，---------------8分
綜上，g（x）_max=

m-m2(0＜m≤ 1 2 ) 1 4 ( 1 2 ＜m≤ 1+ 2 2 ) m2-m(m＞ 1+ 2 2 )

-------------9分
（3）h（x）=lnf′（x）=ln（x-1）²，
當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，h（x）=2ln（1-x）
此時(shí)不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立-------------11分
則有2ln（t-x）＜2ln（-2x-1）
∴0＜t-x＜-2x-1，-----------------------13分
可得t＞x且t＜-x-1，
又由x∈[0，1]，
則有-1＜t＜0------------------------------15分
∴t的取值范圍是（-1，0）．-------------------16分

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求極值，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．
掌握不等式恒成立時(shí)所取的條件．考查學(xué)生分類討論思想、劃歸思想等運(yùn)用．