Question

（本小題滿分13分）（注意：在試題卷上作答無效）

已知函數(shù)的反函數(shù)為，定義：若對給定的實(shí)數(shù)，函數(shù)與互為反函數(shù)，則稱滿足“和性質(zhì)”．

（1）判斷函數(shù)是否滿足“1和性質(zhì)”，并說明理由；

（2）若，其中滿足“2和性質(zhì)”，則是否存在實(shí)數(shù)a，使得

對任意的恒成立？若存在，求出的范圍；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）函數(shù)不滿足“1和性質(zhì)”；

（2）當(dāng)使得對任意的恒成立

【解析】(1)首先搞清楚什么樣的函數(shù)具有“和性質(zhì)”．本小題只要證明與互為反函數(shù)，即可說明y=f(x)滿足“1和性質(zhì)”.

(2)設(shè)函數(shù)滿足“2和性質(zhì)”，再求出其反函數(shù)，根據(jù)互為反函數(shù)，可求出k,b 的值.進(jìn)而確定F(x),同時(shí)可研究其單調(diào)性.利用其單調(diào)性解再轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題解決.

（1）函數(shù)的反函數(shù)是，

             而其反函數(shù)為

,  故函數(shù)不滿足“1和性質(zhì)”；

．．．．．．6分

（2）設(shè)函數(shù)滿足“2和性質(zhì)”，

，而，得反函數(shù)

由“2和性質(zhì)”定義可知=對恒成立，

即函數(shù)，，在上遞減，．．．．．．9分

所以假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足，即對任意的恒成立，它等價(jià)于在上恒成立. ，，易得.而知所以.綜合以上有當(dāng)使得對任意的恒成立．．．．．．．13分