Question

1．設(shè)$\overrightarrow{a}$=（-1，1），$\overrightarrow$=（4，3），$\overrightarrow{c}$=（5，-2）
（1）若$（\overrightarrow a+t\overrightarrow b）⊥\overrightarrow c$，求實(shí)數(shù)t的值；
（2）試用$\overrightarrow a，\overrightarrow b$表示$\overrightarrow c$；
（3）若$\overrightarrow a=\overrightarrow{OA}，\overrightarrow b=\overrightarrow{OB}$，求△OAB的面積．

Answer 1

分析 （1）由$（\overrightarrow{a}+t\overrightarrow）⊥\overrightarrow{c}$便可得到$（\overrightarrow{a}+t\overrightarrow）•\overrightarrow{c}=0$，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出t；
（2）可設(shè)$\overrightarrow{c}=λ\overrightarrow{a}+μ\overrightarrow$，可帶入坐標(biāo)，從而由在x軸上的坐標(biāo)和y軸上的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等即可建立關(guān)于λ，μ的二元一次方程組，解方程組即可得出λ，μ，從而表示出$\overrightarrow{c}$；
（3）根據(jù)向量夾角的余弦公式求出cos∠BOA，從而得到sin∠BOA，從而根據(jù)三角形的面積公式即可得出△OAB的面積．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow=（-1+4t，1+3t）$；
∵$（\overrightarrow{a}+t\overrightarrow）⊥\overrightarrow{c}$；
∴$（\overrightarrow{a}+t\overrightarrow）•\overrightarrow{c}=-5+20t-2-6t=0$；
∴$t=\frac{1}{2}$；
（2）設(shè)$\overrightarrow{c}=λ\overrightarrow{a}+μ\overrightarrow$，則：（5，-2）=（-λ，λ）+（4μ，3μ）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{5=-λ+4μ}\\{-2=λ+3μ}\end{array}\right.$；
解得$λ=-\frac{23}{7}，μ=\frac{3}{7}$；
∴$\overrightarrow c=-\frac{23}{7}\overrightarrow a+\frac{3}{7}\overrightarrow b$；
（3）cos∠BOA=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{-1}{\sqrt{2}•5}=-\frac{\sqrt{2}}{10}$；
∴$sin∠BOA=\sqrt{1-\frac{1}{50}}=\frac{7}{5\sqrt{2}}$；
∴${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|sin∠BOA$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×5×\frac{7}{5\sqrt{2}}=\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)乘、加法及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量坐標(biāo)相等便是在x軸，y軸上的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等，向量夾角的余弦的坐標(biāo)公式，根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長(zhǎng)度，以及三角形的面積公式：S=$\frac{1}{2}absinC$．