Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且（n∈N^*）其中q為非零常數(shù)，函數(shù)，數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=f′（b_n），（n∈N^*），b₁=f（1），設(shè)，{b_n}的前n項和為T_n，，求A_n=c₁+c₂+…+c_n．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）當(dāng)時，試比較與f（B_n）的大小，并說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）S_n=且q≠1
當(dāng)n=1時，（1-q）S₁=2-qa₁?a₁=2
當(dāng)n≥2時，（1-q）S_n-（1-q）S_n-1=qa_n-1-qa_n?a_n=qa_n-1
∴{a_n}是以2為首項，公比為q的等比數(shù)列．
（Ⅱ） 當(dāng)q=時，由（1）得 a_n=2
又 f（x）=，∴f′（x）=x+2
由b_n+1=f′（b_n）得b_n+1=f′（b_n）=b_n+2
∴{b_n}是以2為首項，公差為2的等差數(shù)列，
故b_n=2n
∴c_n= T_n==n（n+1），
B_n=
A_n=c₁+c₂+…+c_n=1•++…+…①
∴…②
①-②得∴
=
∴
∴
當(dāng)n=1時，＜0
∴
當(dāng)n≥2時，
令g（x）=3^x+1-（2x²+5x+3）
則g′（x）=3^x+1ln3-（4x+5），g^∥（x）=3^x+1（ln3）²-4在[2，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，
∴g^∥（x）=3^x+1（ln3）²-4≥3³（ln3）²-4＞0
∴g′（x）=3^x+1ln3-（4x+5）在[2，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，
g′（x）=3^x+1ln3-（4x+5）≥3³ln3-9＞27-9＞0
g（x）=3^x+1-（2x²+5x+3）在[2，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，
∴當(dāng)n≥2時，g（n）=3ⁿ⁺¹-（2n²+5n+3）≥3³-（2×4+10+3）＞0
即當(dāng)n≥2時，＞0
∴當(dāng)n≥2時，
又f′（x）=x+2＞0對x≥0恒成立，
∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)n=1時f（）＜f（B_n）
當(dāng)n≥2時f（）＞f（B_n）．
分析：（I）利用n≥2時，數(shù)列的通項a_n與前n項和S_n的關(guān)系可得a_n=qa_n-1，再根據(jù)等差，等比數(shù)列的定義判斷即可．
（II）先求出{a_n}與{b_n}的通項公式，從而得到{c_n}的通項以及Tn，然后利用裂項求和法求出B_n，利用錯位相消法求出A_n，再將與B_n作差比較即可．
點評：本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合，同時考查了裂項求和法和錯位相消法的運(yùn)用，屬于難題．