Question

已知函數(shù)f（x）=4x+

a

x

+b（a，b∈R）為奇函數(shù)．
（Ⅰ）若f（1）=5，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)a≥1時，討論函數(shù)g（x）=f（2^x）-c（c∈R）在（-∞，-1]上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）運用奇函數(shù)的定義，可得b=0，再由f（1）=4+a+b=5，求出b，即可；
（Ⅱ）運用函數(shù)的單調(diào)性的定義，設(shè)x₁＜x₂≤-1，作差，整理變形，即可得證．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f(x)=4x+

a

x

+b(a，b∈R)為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），即-4x-

a

x

+b=-4x-

a

x

-b，
∴b=0，
又f（1）=4+a+b=5，
∴a=1
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=4x+

1

x

．
（Ⅱ）函數(shù)g（x）在（-∞，-1]上單調(diào)遞減．
證明：g(x)=4•2x+

a

2x

-c，
設(shè)x₁＜x₂≤-1，
g（x₁）-g（x₂）=（4•2^x₁+

a

2x1

-c）-（4•2^x₂+

a

2x2

-c）
=

4•22x1+x2+a•2x2-4•22x2+x1-a•2x1

2x1+x2

=

(4•2x1+x2-a)(2x1-2x2)

2x1+x2

，
∵x₁＜x₂≤-1，
∴x1+x2＜-2，4•2x1+x2＜4•2-2=1，
∵a≥1，即-a≤-1，
∴4•2x1+x2-a＜0，又2x1-2x2＜0，2x1+x2＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂）
∴函數(shù)g（x）在（-∞，-1]單調(diào)遞減．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性及運用，考查函數(shù)的單調(diào)性及證明，注意必須運用定義求證．