Question

如圖所示,過(guò)雙曲線x²-=1的右焦點(diǎn)作直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn),若OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求AB所在直線的方程.

Answer 1

直線方程為y=±(x-2).

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x₁,y₁)、(x₂,y₂),雙曲線x²-=1的右焦點(diǎn)為F(2,0),因此,直線AB過(guò)點(diǎn)(2,0),當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí),把x₁=x₂=2代入雙曲線方程,得y₁=3,y₂=-3,此時(shí)OA不垂直于OB,不合題意;當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí),設(shè)其斜率為k,方程為y=k(x-2),代入雙曲線方程,整理得(3-k²)x²+4k²x-4k²-3=0,∴x₁x₂=,x₁+x₂=.                ①
∴y₁y₂=k(x₁-2)·k(x₂-2)=k²［x₁x₂-2(x₁+x₂)+4］.∵OA⊥OB,∴=-1(顯然x₁≠0,x₂≠0),
即x₁x₂+y₁y₂=0.∴x₁x₂+k²［x₁x₂-2(x₁+x₂)+4］=0,把①式代入得(k²+1)· -2k²· +4k²=0,
解得k²=,k=±,因此,所求直線方程為y=±(x-2).