Question

已知雙曲線過(guò)點(diǎn)A（-2，4）、B（4，4），它的一個(gè)焦點(diǎn)是F₁（1，0），求它的另一個(gè)焦點(diǎn)F₂的軌跡方程．

Answer 1

解：∵雙曲線過(guò)點(diǎn)A（-2，4）和B（4，4），它的一個(gè)焦點(diǎn)是F₁（1，0），
∴|AF₁|=|BF₁|=5，
由雙曲線的定義知，||AF₁|-|AF₂||=||BF₁|-|BF₂||，即|5-|AF₂||=|5-|BF₂||，
（1）當(dāng)5-|AF₂|=5-|BF₂|時(shí)，即|AF₂|=|BF₂|，
∴焦點(diǎn)F₂的軌跡是線段AB的中垂線，其方程為x=1（y≠0），
（2）當(dāng)5-|AF₂|=|BF₂|-5時(shí)，即|AF₂|+|BF₂|=10＞6，
∴焦點(diǎn)F₂的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為10的橢圓，
∴其中心是（1，4），a=5，c=3，∴b²=25-9=16，
∴其方程為（y≠0）
綜上，另一個(gè)焦點(diǎn)F₂的軌跡方程為：x=1（y≠0）或（y≠0）．
分析：由雙曲線的定義列出有關(guān)另一個(gè)焦點(diǎn)的方程，進(jìn)行分類討論，由式子的幾何意義和橢圓的定義進(jìn)行求解，并把不符合題意的點(diǎn)去掉，即可得到另一個(gè)焦點(diǎn)F₂的軌跡方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，由雙曲線和橢圓的定義求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是關(guān)鍵．