Question

在平面直角坐標系xOy中，已知定點A（-4，0），B（0，-2），半徑為r的圓M的圓心M在線段AB的垂直平分線上，且在y軸右側，圓M被y軸截得的弦長為

3

r．
（1）若r為正常數(shù)，求圓M的方程；
（2）當r變化時，是否存在定直線l與圓相切？如果存在求出定直線l的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設圓心M（a，b），利用圓心在直線AB的垂直平分線上，從而|MA|=|MB|，再結合圓心在y軸右側（即a＞0），圓M被y軸截得的弦長為

3

r，列方程組解之即可；
（2）依題意，可設直線l：y=kx+b與圓M相切，利用圓心到直線l的距離等于半徑求得m，判斷即可．

解答：解：（1）設圓心M（a，b），由題意可知

( 3 2 r)2+a2=r2 a＞0 (a+4)2+b2=a2+(b+2)2

，解得

a= 1 2 r b=r+3

，
所以圓M的方程為(x-

1

2

r)2+（y-r-3）²=r²；
（2）
設直線l：y=kx+b，
則

|k× r 2 -r-3+b|

1+k2

=r對任意r＞0恒成立，
由|（

k

2

-1）r+b-3|=r

1+k2

得：
(

k

2

-1)2+（k-2）（b-3）r+（b-3）²=（1+k²）r²，
∴

( k 2 -1)2=1+k2 (k-2)(b-3)=0 (b-3)2=0

，
解得

k=0 b=3

或

k=- 4 3 b=3

．
∴存在兩條直線y=3和4x+3y-9=0與動圓M均相切．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查理解題意與解方程組的能力，屬于中檔題．