Question

17．已知函數f（x）為定義域在（0，+∞）上的增函數，且滿足f（2）=1，f（xy）=f（x）+（y）
（1）求f（1），f（4）的值．
（2）如果f（8-x）-f（x-3）≤4，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1，可求出f（1），令x=y=2，結合條件，可求出f（4）；
（2）將4換成f（16），結合條件得到f（8-x）＜f（16（x-3）），再由單調性，即可求出x的取值范圍，注意定義域．

解答 解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），∴令x=y=1，則f（1）=2f（1），即f（1）=0，
令x=y=2，則f（4）=2f（2）=2．
（2）令x=y=4，則f（16）=2f（4）=4．
 不等式f（8-x）-f（x-3）≤4，即f（8-x）≤f（x-3）+4
即f（8-x）≤f（x-3）+f（16）=f（16（x-3）
由于函數在定義域（0，+∞）上為增函數，⇒
$\left\{\begin{array}{l}{8-x＞0}\\{x-3＞0}\\{8-x≤16（x-3）}\end{array}\right.$   解得不等式組得：$\frac{56}{17}≤x＜8$
所以x的取值范圍：[$\frac{56}{17}$，8）

點評 本題主要考查函數的單調性及運用，考查解決抽象函數值的常用方法：賦值法，屬于基礎題