Question

函數(shù)y=f（x）的圖象與直線x=a，y=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f（x）在[a，b]上的面積，已知函數(shù)y=sinnx在[0，

π

n

]上的面積為

2

n

，則（1）函數(shù)y=sin3x在[0，

2π

3

]上的面積為

4

3

，（2）函數(shù)y=sin（3x-π）在[

π

3

，

4π

3

]上的面積為

π+

2

3

．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)y=sinnx與函數(shù)y=sin3x類比，可以得出函數(shù)y=sin3x在[0，

π

3

]上的面積，得出函數(shù)y=sin3x在[0，

2π

3

]上的面積是函數(shù)y=sin3x在[0，

π

3

]上的面積的兩倍，從而得出函數(shù)y=sin3x在[0，

2π

3

]上的面積．
（2）設(shè)t=x-

π

3

，t∈[0，π]，則y=sin3t+1，同理可求．

解答：解：（1）∵函數(shù)y=sinnx在[0，

π

n

]上的面積為

2

n

（n∈N⁺），
∴對于函數(shù)y=sin3x而言，
n=3，
∴函數(shù)y=sin3x在[0，

π

3

]上的面積為：

2

n

=

2

3

則函數(shù)y=sin3x在[0，

2π

3

]上的面積為

2

3

×2=

4

3

（2）設(shè)t=x-

π

3

，t∈[0，π]，則y=sin3t+1，
∴y=sin（3x-π）+1在[

π

3

，

4π

3

]上的面積為 π+

2

3

故答案為：

4

3

；π+

2

3

．

點評：本小題主要考查類比推理、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．