Question

8．已知菱形ABCD與橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1相切，則菱形ABCD面積的最小值為（　�。�

• A． 8$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 8$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)菱形的邊在第一象限所在直線的方程為：$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}$=1，化為nx+my=mn（m，n＞0）．與橢圓方程聯(lián)立化為（3m²+4n²）x²-8mn²x+4n²m²-12m²=0，令△=0，即可得出．

解答 解：設(shè)菱形的邊在第一象限所在直線的方程為：$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}$=1，化為nx+my=mn（m，n＞0）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{nx+my=mn}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，
化為（3m²+4n²）x²-8mn²x+4n²m²-12m²=0，
令△=64m²n⁴-16（3m²+4n²）（n²m²-3m²）=0，
化為m²n²=3m²+4n²≥2$\sqrt{3×4}$mn，當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{3}m$=2n=$2\sqrt{6}$時取“=”．
解得mn≥4$\sqrt{3}$，
∴S_菱形=$\frac{1}{2}×2m×2n$=2mn≥8$\sqrt{3}$．
∴菱形ABCD面積的最小值為8$\sqrt{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相切問題、菱形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．