Question

令函數(shù)f（x）=

sin πx 2 ，x∈[-1，1] 1-|2-x|，x∈(1，3]

，若mf（x）=x恰有2個(gè)根，則m的值為（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、0

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將方程轉(zhuǎn)化為f（x）=

x

m

，作出函數(shù)f（x），和g（x）=

x

m

的圖象，利用函數(shù)當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=sin

πx

2

是奇函數(shù)，g（x）也是奇函數(shù)，
∴根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性可知在x∈[-1，1]內(nèi)

解答： 解：若m=0，則方程x=0，此時(shí)只有一個(gè)解，不成立，
當(dāng)m≠0時(shí)，方程等價(jià)為f（x）=

x

m

，
作出函數(shù)f（x），和g（x）=

x

m

的圖象，則x=0是方程g（x）=

x

m

的一個(gè)根，
∵當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=sin

πx

2

是奇函數(shù)，g（x）也是奇函數(shù)，
∴根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性可知在x∈[-1，1]內(nèi)不可能有第二個(gè)交點(diǎn)，否則至少是3個(gè)．
要使方程mf（x）=x恰有2個(gè)根，則必有g(shù)（2）=f（2）=1，
即

2

m

=1，解得m=2，
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．