Question

已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的極值；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，；
（3）證明： .

Answer 1

（1）；（2）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（3）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析.

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查函數(shù)思想，考查綜合分析和解決問(wèn)題的能力.第一問(wèn)，將代入，得到解析式，對(duì)它求導(dǎo)，列出表格，通過(guò)單調(diào)性，判斷極值；第二問(wèn)，證明不等式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值大于0；第三問(wèn)，利用第二問(wèn)的結(jié)論，令，利用放縮法得到，再利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)和裂項(xiàng)相消法求和，得到所證不等式.
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，
          1分
變化如下表

	+	0		0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

，       4分
（2）令 
則                 6分
∴在上為增函數(shù)。       8分
                                     9分
（3）由（2）知                       10分
令得，     12分

     13分
                       14分