Question

如圖，某海域中有甲、乙兩艘測(cè)量船分別停留在相距（）海里的M，N兩地，他們?cè)谕瑫r(shí)觀測(cè)島嶼上中國(guó)移動(dòng)信號(hào)塔AB，設(shè)塔底延長(zhǎng)線與海平面交于點(diǎn)O．已知點(diǎn)M在點(diǎn)O的正東方向，點(diǎn)N在點(diǎn)O的南偏西15°方向，ON=2海里，在M處測(cè)得塔底B和塔頂A的仰角分別為30°和60°．
（1）求信號(hào)塔AB的高度；
（2）乙船試圖在線段ON上選取一點(diǎn)P，使得在點(diǎn)P處觀測(cè)信號(hào)塔AB的視角最大，請(qǐng)判斷這樣的點(diǎn)P是否存在，若存在，求出最大視角及OP的長(zhǎng)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件可得∠MON=105°，在△MON中，由正弦定理求得sin∠OMN=，∠OMN=45°，可得∠ONM=30°．再由正弦定理求得OM 的值，解直角三角形求出OA和OB的值，可得AB的值．
（2）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，令OP=x，0＜x≤2，設(shè)∠OPA=α，∠OPB=β，可得視角θ=α-β，tanα 和 tanβ 的解析式，再由tanθ=tan（α-β），利用兩角差的正切公式求出tanθ的最大值，并求出此時(shí)x的值．
解答：解：（1）由條件可得∠MON=105°，在△MON中，由正弦定理可得，
即=，解得 sin∠OMN=，∠OMN=45°，∴∠ONM=30°．
再由  求得OM=2．
∵在M處測(cè)得塔底B和塔頂A的仰角分別為30°和60°，∴OB==，OA=2，∴AB=，
即信號(hào)塔AB的高度為 海里．
（2）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，令OP=x，0＜x≤2，設(shè)∠OPA=α，∠OPB=β，
∴視角θ=α-β，tanα=，tanβ=．
∴tanθ=tan（α-β）==×．
由于x＞0，∴x+≥2=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，等號(hào)成立，故tanθ≤．
綜上可得，滿足條件的點(diǎn)P存在．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，兩角差的正切公式、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．