Question

如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點．
（1）求證：MN⊥CD；                               
（2）若PA=AB=AD=2，求二面角N-AB-C的大�。�

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取CD的中點Q，連接MQ，NQ，由已知條件推導(dǎo)出CD⊥NQ，CD⊥MQ，由此能證明MN⊥CD．
（2）由已知條件推導(dǎo)出∠NMQ是二面角N-AB-C的平面角，由此能求出二面角N-AB-C的大�。�

解答： （1）證明：如圖，取CD的中點Q，連接MQ，NQ，
則NQ∥CD，MQ∥AD，
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
又∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD，且PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，∵PD?平面PAD，∴CD⊥PD，
∵NQ∥PD，∴CD⊥NQ，①
又∵MQ∥AD，CD⊥AD，∴CD⊥MQ，②，
由①②且MQ∩NQ=Q，∴CD⊥平面MNQ，
∵MN?平面MNQ，∴MN⊥CD．（5分）
（2）解：∵M，N分別為A降CD的中點，又M為AB的中點，
∴MQ⊥AB，又MN⊥AB，
∴∠NMQ是二面角N-AB-C的平面角，
由（1）知AN=

1

2

PC=

1

2

PA2+AC2

=

3

，
∴MN=

AN2-AM2

=

2

，
又NQ=

1

2

PD=

2

，MQ=AD=2，
∴∠NMQ=45°，
∴二面角N-AB-C的大小為45°．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．