Question

3．某同學(xué)的作業(yè)不小心被墨水玷污，經(jīng)仔細(xì)辨認(rèn)，整理出以下兩條有效信息：①題目：“在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓x²+2y²=1的左頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作兩條斜率之積為2的射線與橢圓交于B，C，…”
②解：設(shè)AB的斜率為k，…點(diǎn)B（$\frac{1-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$），D（-$\frac{5}{3}$，0），…據(jù)此，請(qǐng)你寫出直線CD的斜率為$\frac{3k}{{2{k^2}+4}}$．（用k表示）

Answer 1

分析 由題意可得直線AC的斜率為$\frac{2}{k}$，則將k換成$\frac{2}{k}$，可得點(diǎn)C（$\frac{{k}^{2}-8}{{k}^{2}+8}$，$\frac{4k}{{k}^{2}+8}$），運(yùn)用直線的斜率公式，計(jì)算即可得到．

解答 解：橢圓x²+2y²=1的左頂點(diǎn)為A（-1，0），過點(diǎn)A作兩條斜率之積為2的射線，
設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AC的斜率為$\frac{2}{k}$，
由題意可得點(diǎn)B（$\frac{1-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$），D（-$\frac{5}{3}$，0），
則將k換成$\frac{2}{k}$，可得點(diǎn)C（$\frac{{k}^{2}-8}{{k}^{2}+8}$，$\frac{4k}{{k}^{2}+8}$），
則直線CD的斜率為
$\frac{\frac{4k}{{k}^{2}+8}-0}{\frac{{k}^{2}-8}{{k}^{2}+8}+\frac{5}{3}}$=$\frac{3k}{2{k}^{2}+4}$．
故答案為：$\frac{3k}{{2{k^2}+4}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．