Question

15．已知函數(shù)f（x）=a•4^x-a•2^x+1+1-b（a＞0）在區(qū)間[1，2]上有最大值9和最小值1
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（x）-k•4^x≥0在x∈[-1，1]上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令t=2^x∈[2，4]，依題意知，y=at²-2at+1-b，t∈[2，4]，由即可求得a、b的值．
（2）設(shè)2^x=t，k≤$\frac{{t}^{2}-2t+1}{{t}^{2}}$=1-$\frac{2}{t}$+$\frac{1}{{t}^{2}}$，求出函數(shù)1-$\frac{2}{t}$+$\frac{1}{{t}^{2}}$的大值即可

解答 解：（1）令t=2^x∈[2，4]，
則y=at²-2at+1-b，t∈[2，4]，
對(duì)稱軸t=1，a＞0，
∴t=2時(shí)，y_min=4a-4a+1-b=1，
t=4時(shí)，y_max=16a-8a+1-b=9，
解得a=1，b=0，
（2）4^x-2•2^x+1-k•4^x≥0在x∈[-1，1]上有解
設(shè)2^x=t，
∵x∈[-1，1]，
∴t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
∵f（2^x）-k.2^x≥0在x∈[-1，1]有解，
∴t²-2t+1-kt²≥0在t∈[$\frac{1}{2}$，2]有解，
∴k≤$\frac{{t}^{2}-2t+1}{{t}^{2}}$=1-$\frac{2}{t}$+$\frac{1}{{t}^{2}}$，
再令$\frac{1}{t}$=m，則m∈[$\frac{1}{2}$，2]，
∴k≤m²-2m+1=（m-1）²
令h（m）=m²-2m+1，
∴h（m）_max=h（2）=1，
∴k≤1，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)的應(yīng)用，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．