Question

如圖1所示，在矩形ABCD中，AB=2AD=4，E為CD的中點(diǎn)，沿AE將△AED折起，如圖2所示，O、H、M分別為AE、BD、AB的中點(diǎn)，且DM=2．
（1）求證OH∥平面DEC；
（2）求證平面ADE⊥平面ABCE；
（3）求三棱錐H-OMB的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)條件取F為BC的中點(diǎn)，連OF、FH，由中位線性質(zhì)和線面平行的判定證明面HOF∥面DEC，再證明
OH∥平面DEC；
（2）由E和O分別是中點(diǎn)得，DO⊥AE，再由長度和勾股定理證明DO⊥AE，根據(jù)線面垂直的判定證明DO⊥平面ABCE，再由面面垂直的判定得結(jié)論；
（3）由DO⊥平面ABCE和H是中點(diǎn)，求出三棱錐的高，代入體積公式求值．

解答： 證明：（1）取F為BC的中點(diǎn)，連OF、FH，
∵O、F分別為AE、BC的中點(diǎn)，∴OF∥EC，
∵OF?面DEC，EC?面DEC，
∴OF∥面DEC，
同理可證，HF∥面DEC，OF∩HF=F，
∴面HOF∥面DEC，又OH?面HOF，
∴OH∥平面DEC；
（2）∵AD=DE=2，且點(diǎn)O是AE的中點(diǎn)，
∴DO⊥AE，DO=

2

，
∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴OM=

2

，且AE⊥OM，
又∵DM=2，∴DO²+OM²=DM²，
∴DO⊥OM，
∵DO⊥AE，AE∩OM=O，∴DO⊥平面ABCE，
∵DO?平面ADE，∴平面ADE⊥平面ABCE；
解：（3）由（2）知，DO⊥平面ABCE，
∴點(diǎn)H到平面OMB的距離是

1

2

DO=

2

2

，
則V_H-OMB=

1

3

×

1

2

×1×2×

2

2

=

2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三棱錐的體積，線面平行的判定，線面垂直和面面垂直的性質(zhì)、判定，熟練掌握空間直線與平面位置關(guān)系的定義、判定定理、性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵，考查了空間想象能力、推理論證的能力．