Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+mx2-3m2+1（m＞0）．
（Ⅰ）若m=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（2m-1，m+1）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由m=1可得函數(shù)的解析式，計(jì)算可得f（2）的值，即可得點(diǎn)（2，f（2））的坐標(biāo)，對(duì)f（x）求導(dǎo)，將x=2代入可得f′（2）的值，即可得該切線的斜率；由直線的點(diǎn)斜式方程，代入數(shù)據(jù)可得答案．
（Ⅱ）對(duì)f（x）求導(dǎo)可得f′（2），解f′（x）=0與f′（x）≥0，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，根據(jù)題意，分析可得m+1≤-3m或2m-1≥m，解可得①式；由區(qū)間的定義可得m+1＞2m-1，解可得②式；由題意有m＞0，③式；綜合三個(gè)式子，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=

1

3

x³+x²-3x+1，f（2）=

8

3

+4-6+1=

5

3

；
f′（x）=x²+2x-3，f′（2）=4+4-3=5，
所以所求切線方程為y-

5

3

=5（x-2），即15x-3y-25=0；
（Ⅱ）對(duì)于f（x）=

1

3

x³+mx²-3m²x+1，
f′（x）=x²+2mx-3m²，
令f′（x）=x²+2mx-3m²=0，解可得x=-3m或x=m；
由于m＞0，則m＞-3m，
若f′（x）=x²+2mx-3m²≥0，則x的范圍是x≤-3m或x≥m；
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-3m]和[m，+∞），
要使f（x）在區(qū)間（2m-1，m+1）上單調(diào)遞增，
應(yīng)有m+1≤-3m或2m-1≥m，
解得m≤

1

4

或m≥1，①
對(duì)于區(qū)間（2m-1，m+1），有m+1＞2m-1，解可得m＜2，②
又由m＞0，③
綜合三式可得1≤m＜2，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍{m|1≤m＜2}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程與判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解（Ⅱ）時(shí)，不要遺漏對(duì)區(qū)間（2m-1，m+1）分析．