Question

3．設(shè)n為給定的正整數(shù)．記A_n={x|2ⁿ＜x＜2ⁿ⁺¹，且x=3m，m∈N}
（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)．求A_n中的最大數(shù)和最小數(shù)；
（2）求A_n中所有元素之和．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有2ⁿ+1=3（2^n-1-2^n-2+…-2+1），問題得以解決．
（2）分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求出答案．

解答 解：（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有2ⁿ+1=（2+1）（2^n-1-2^n-2+…-2+1）=3（2^n-1-2^n-2+…-2+1），
所以2ⁿ+1是最小的數(shù)；
又2ⁿ⁺¹-1=（2ⁿ⁺¹+2）-3=2（2ⁿ+1）-3，
所以2ⁿ⁺¹-1是最大的數(shù)．
（2）由（1）知當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，A_n中的各個(gè)元素組成以2ⁿ+1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，設(shè)項(xiàng)數(shù)為m，則2ⁿ⁺¹-1=2ⁿ+1+3（m-1），
所以m=$\frac{{2}^{n}+1}{3}$，
所以當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，A_n中的所有元素之和為$\frac{1}{2}$[2ⁿ+1）+（2ⁿ⁺¹-1）]$\frac{{2}^{n}+1}{3}$=2^2n-1+2^n-1，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，n-1時(shí)奇數(shù)，由（1）可知2^n-1+1是3的倍數(shù)，因此2ⁿ+2=2（2^n-1+1）是3的倍數(shù)；
同理，2ⁿ⁺¹-2=2（2ⁿ-1）是3的倍數(shù)，
所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，A_n中的各個(gè)元素組成以2ⁿ+2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，
設(shè)項(xiàng)數(shù)為m，則2ⁿ⁺¹-2=2ⁿ+2+3（m-1），所以m=$\frac{{2}^{n}-1}{3}$，
所以當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，A_n中的所有元素之和為$\frac{1}{2}$[2ⁿ+2）+（2ⁿ⁺¹-2）]$\frac{{2}^{n}-1}{3}$=2^2n-1-2^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本體主要考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及分類討論的思想，屬于中檔題．