Question

3．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＜0時，f（x）=x²+2x，則函數(shù)$g（x）=f（x）+\frac{1}{2}x-1$零點的集合為（　�。�

• A． {1，-1，0}
• B． {-2，2，0}
• C． $\{2，-\frac{1}{2}，\frac{{-5+\sqrt{41}}}{4}\}$
• D． $\{2，\frac{1}{2}，\frac{{-5-\sqrt{41}}}{4}\}$

Answer 1

分析 令x＞0，則-x＜0，f（-x）=（-x）²-2x=-f（x），可得f（x），又f（0）=0．可得g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+\frac{5}{2}x-1，x≥0}\\{{x}^{2}+\frac{5}{2}x-1，x＜0}\end{array}\right.$，令g（x）=0，解得x即可得出．

解答 解：令x＞0，則-x＜0，f（-x）=（-x）²-2x=-f（x），∴f（x）=-x²+2x，又f（0）=0．∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{{x}^{2}+2x，x＜0}\end{array}\right.$．
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+\frac{5}{2}x-1，x≥0}\\{{x}^{2}+\frac{5}{2}x-1，x＜0}\end{array}\right.$，
令g（x）=0，解得x=2，或$\frac{1}{2}$，或$\frac{-5-\sqrt{41}}{4}$．
∴函數(shù)$g（x）=f（x）+\frac{1}{2}x-1$零點的集合為{2，$\frac{1}{2}$，$\frac{-5-\sqrt{41}}{4}$}．
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性、函數(shù)的零點，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．