Question

若不等式|2x-1|+|x-a|≥2對任意實(shí)數(shù)x均成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：分：①當(dāng)a=

1

2

時(shí)、②當(dāng)a＞

1

2

時(shí)、③當(dāng)a＜

1

2

時(shí)三種情況，分別化簡不等式，根據(jù)函數(shù)y=|2x-1|+|x-a|的最小值大于或等于2，求得a的范圍．

解答： 解：①當(dāng)a=

1

2

時(shí)，不等式即|x-

1

2

|≥

2

3

，顯然不能任意實(shí)數(shù)x均成立．
②當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，|2x-1|+|x-a|=

3x-a-1 ， x≥a x+a-1 ， 1 2 ＜x＜a -3x+a+1 ，x≤ 1 2

，
此時(shí)，根據(jù)函數(shù)y=|2x-1|+|x-a|的單調(diào)性可得y的最小值為-3×

1

2

+a+1．
∵不等式|2x-1|+|x-a|≥2對任意實(shí)數(shù)x均成立，
∴-3×

1

2

+a+1≥2，解得 a≥

5

2

．
③當(dāng)a＜

1

2

時(shí)，|2x-1|+|x-a|=

3x-a-1 ， x≥ 1 2 -x-a+1 ，a＜x＜ 1 2 -3x+a+1 ，x≤ a

，
此時(shí)，根據(jù)函數(shù)y=|2x-1|+|x-a|的單調(diào)性可得y的最小值為-

1

2

-a+1．
∵不等式|2x-1|+|x-a|≥2對任意實(shí)數(shù)x均成立，
∴-

1

2

-a+1≥2，解得 a≤-

3

2

．
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-

3

2

]∪[

5

2

，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．